Nombres entiers non signés

Nombres entiers non signés#

Dans un premier temps, nous travaillerons avec les nombres entiers positifs, appelés entiers non signés.

Les différentes bases: décimal, binaire et hexadécimal#

Dans la vie de tous les jours, nous utilisons habituellement la base 10. Ça signifie que nous avons 10 symboles (les chiffres de 0 à 9) à disposition pour écrire les nombres.

\(7356 = 7000 + 300 + 50 + 6 = 7 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0\)

En informatique, nous utilisons souvent la base 2 (binaire). Les deux seuls symboles à disposition sont le 0 et le 1.

\(10101_2 = 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0\)

Une autre base beaucoup utilisée en informatique pour sa simplicité d'utilisation et de représentation est la base 16 (hexadécimal). Pour la base 16, nous avons besoin de 16 symboles, nous en avons déjà 10 à disposition (0 à 9), il faut donc 6 symboles supplémentaires qui sont A (pour 10), B (11), C (12), D (13), E (14) et F (15).

\(3A7E0_{16} = 3 \cdot 16^4 + 10 \cdot 16^3 + 7 \cdot 16^2 + 14 \cdot 16^1 + 0 \cdot 16^0\)

Important

Lorsque nous utilisons une autre base que la base 10, nous écrivons la base en indice pour éviter toute ambiguïté.
\(100 \neq 100_2\), l'un est 100 et l'autre 4 en base 2.

Conversion binaire - décimal#

Pour convertir un nombre binaire en nombre décimal, il faut:

  1. Écrire le nombre sous forme de puissances de 2,

  2. Calculer les valeurs,

  3. Additionner le tout.

\[\begin{split} 1101101_2 &= 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0\\ &= 64 + 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 109 \end{split}\]

Exercice 1#

Convertir les nombres suivants de binaire en décimal.

Conversion décimal - binaire#

Pour convertir un nombre décimal en nombre binaire, il existe plusieurs méthodes.

Le but est de décomposer le nombre décimal en puissances de 2. Pour cela nous allons nous aider d'un tableau:

  1. Noter les puissances de 2 dans le tableau.

  2. Depuis la gauche, déterminer pour chaque colonne si la puissance de 2 est plus petite ou égale au reste.

  3. Calculer le reste.

  4. Passer à la colonne suivante.

Que vaut \(149\) en binaire?

\(2^n\)

\(2^8\)

\(2^7\)

\(2^6\)

\(2^5\)

\(2^4\)

\(2^3\)

\(2^2\)

\(2^1\)

\(2^0\)

256

128

64

32

16

8

4

2

1

\(2^n \leq\) reste?

0

1

0

0

1

0

1

0

1

Reste

\(149\)

\(21\)

\(21\)

\(21\)

\(5\)

\(5\)

\(1\)

\(1\)

\(0\)
\[149 = 10010101_2\]

Exercice 2#

Convertir les nombres suivants de décimal en binaire.

Exercice 3#

Combien de bits faut-il pour écrire les nombres suivants en base 2?

Conversion binaire - hexadécimal#

Pour convertir un nombre binaire en hexadécimal, il suffit de grouper les bits par 4 depuis la droite et de calculer leur valeur en hexadécimal.

Que vaut 1101110 en hexadécimal?

binaire

0110

1110

pseudo-décimal

6

14

hexadécimal

6

E
\[1101110_{2} = 6E_{16}\]

Conversion hexadécimal - binaire#

Pour convertir un nombre hexadécimal en binaire, il suffit de remplacer chaque chiffre hexadécimal par sa valeur en binaire sur 4 bits.

Que vaut A0D7 en binaire?

hexadécimal

A

0

D

7

pseudo-décimal

10

0

13

7

binaire

1010

0000

1101

0111
\[A0D7_{16} = 1010\,0000\,1101\,0111_{2}\]

Exercice 4#

Convertir les nombres suivants de binaire en hexadécimal ou vice-versa.

L'addition de nombres entiers en binaire#

Le principe pour additionner des nombres en binaire est le même que pour additionner en base 10, sauf que la retenue se produit dès que nous arrivons à 2 au lieu de 10.
Voici les quelques règles importantes de l'addition en binaire:

  • 0 + 0 = 0

  • 0 + 1 = 1 + 0 = 1

  • 1 + 1 = 10

  • 1 + 1 + 1 = 11

Comment additionner \(1011_2\) et \(0011_2\)?

     1 1     (retenues)
   1 0 1 1
 + 0 0 1 1
 ---------
   1 1 1 0
\[0101_2 + 1001_2 = 1110_2\]

Le dépassement de capacité (overflow)#

En additionnant deux nombres entiers non signés en base 2 sur 4 bits, il peut se produire un dépassement de capacité.

Que se passe-t-il lors de l'addition de \(1101_2\) et de \(1010_2\)?

 1           (retenues)
   1 1 0 1
 + 1 0 1 0
 ---------
 1 0 1 1 1

\(1101_2 + 1010_2 = \cancel{1}0111_2\), mais comme nous n'avons que 4 bits à disposition et pas 5, le premier bit va simplement être ignoré et donc le résultat sera faux (\(13 + 12 \ne 7\)).

Un exemple coûteux d'overflow est le vol 501 d'Ariane 5.

Exercice 5#

Effectuer les additions suivantes sur 4 bits.

Exercice 6#

Effectuer les additions suivantes sur 8 bits.